MÉTODO ANALÍTICO

MÉTODO ANALÍTICO

El método analítico es un método que implica análisis. Análisis proviene del griego, y significa descomposición. Así, el método analítico requiere de la separación de un todo en las partes o elementos que lo constituyen. Desde esta perspectiva, se dice que para poder comprender algo, es necesario desmenuzar correctamente cada uno de sus componentes, ya que es la manera de conocer la naturaleza del fenómeno u objeto que se estudia, y a partir de esto hacer analogías, comprender su comportamiento y establecer algunas teorías.
Para aplicar el método del triángulo en la suma o resta de dos vectores, se analiza los elementos del triángulo formado por estos vectores y la resultante.

Conociendo la longitud de dos lados (en este caso la longitud de los vectores y el ángulo entre ellos es posible calcular la longitud de la resultante por la ley de los cosenos:                                                                                                                                                  

El ángulo α entre la resultante y el eje x (este ángulo determina la dirección y sentido de la resultante) se calcula por la ley de los senos:

Suma de Vectores. Método Analítico

• Suma de Componentes

La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector "V" cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial V _x y sobre el eje y la componente vectorial V _y.

Notemos que V = V _x + V _y de acuerdo al método del paralelogramo.

Las magnitudes de V _x y V _y, o sea V _x y V _y, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Notar también que V _y = V sen y V _x = V cos

• Suma de Vectores Unitarios
Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Ahora V puede escribirse
V = A_x i + A_y j 
Si necesitamos sumar el vector A = A_x i + A_y j con el vector
B = B_x i + B_y j escribimos
R = A + B = A_x i + A_y j + B_x i + B_y j = (A_x + B_x) i + (A_y + B_y) j 
Las componentes de R (=A + B) son R _x = A_x + B _x y R _y = A_y + B _y 

Problema Ilustrativo
El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico.

Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando vectores unitarios, tenemos:
R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se 
denota IRl y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo.
A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).
B debemos descomponerlo en componentes x e y (o i y j)

B = - (35 km) sen60ºi + (35 km) cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj

Luego,
R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i.
La magnitud se obtiene de

lRl ² = (37.5km)² + (30.3km)²  lRl = 48.2 km

La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo. 
En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg = 30.3/37.5  = arctg(30.3/37.5) = 38.9º.