EJERCICIOS DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Una bola de acero de 5 cm de radio se sumerge en agua, calcula el empuje que sufre y la fuerza resultante. Datos: Densidad del acero 7,9 g/cm³

El empuje viene dado por E = d_agua · V_sumergido · g   la densidad del agua se da por conocida (1000 kg/m³), nos queda calcular el volumen sumergido, en este caso es el de la bola. Utilizando el volumen de una esfera:           V = 4/3 p R³ = 4/3 p 0,05³ = 5,236 · 10^-4 m³    por tanto el empuje quedará:

E = d_agua·V_sumergido·g  = 1000 · 5,236 · 10^-4 · 9,8 = 5,131 N

Sobre la bola actúa el empuje hacia arriba y su propio peso hacia abajo, la fuerza resultante será la resta de ambas. El empuje ya lo tenemos, calculamos ahora el peso P = m · g, nos hace falta previamente la masa de la bola, ésta se calcula con su densidad y el volumen (la densidad del acero debe estar en S.I.).

d_acero = 7,9 g/cm³ = 7900 kg/m³         m = d_acero · V = 7900 · 5,234 · 10^-4 = 4,135 kg

P = m · g = 4,135 · 9,8 = 40,52 N

Como vemos el peso es mucho mayor que el empuje, la fuerza resultante será P - E = 35,39 N hacia abajo y la bola se irá al fondo.

Un cubo de madera de 10 cm de arista se sumerge en agua, calcula la fuerza resultante sobre el bloque y el porcentaje que permanecerá emergido una vez esté a flote. Datos: densidad de la madera 700 kg/m³

Este ejercicio es muy similar al anterior, el cuerpo es ahora un cubo de volumen V = lado³ = 0,1³ = 0,001 m³ por tanto el empuje será:

E = d_agua·V_sumergido·g  = 1000 · 0,001 · 9,8 = 9,8 N

La masa del bloque será:

m = d_madera · V = 700 · 0,001 = 0,7 kg

y su peso:

P = m · g = 0,7 · 9,8 = 6,86 N

Vemos que el empuje es mayor que el peso, la fuerza resultante es de 2,94 N hacia arriba lo que hace que el cuerpo suba a flote.

Una vez a flote parte del cuerpo emergerá y no el volumen sumergido disminuirá, con lo cual también lo hace el empuje. El bloque quedará en equilibrio a flote cuando el empuje sea igual al peso y no actúe resultante sobre él, calculemos cuánto volumen permanece sumergido cuando esté a flote.

A flote  E = P            d_agua·V_sumergido·g = Peso      1000 · V_sumergido · 9,8 = 6,86

Despejando V_sumergido =  7 · 10^-4 m³ la diferencia de este volumen bajo el agua y el volumen total del bloque será la parte emergida   V_emergido = 0,001 - 7 · 10^-4 = 3 · 10^-4 m³ emergidos.

El porcentaje de bloque emergido será   3 · 10^-4 /0,001 · 100 = 30 %

Se desea calcular la densidad de una pieza metálica, para ello se pesa en el aire dando un peso de 19 N y a continuación se pesa sumergida en agua dando un peso aparente de 17 N. calcula la densidad del metal.

Si en el agua pesa 2 N menos que fuera es que el empuje vale 2 N, utilizando la fórmula del empuje podemos sacar el volumen sumergido, es decir, el volumen de la pieza.

E = d_agua·V_sumergido·g            2 = 1000 · V · 9,8            V = 2,041 · 10^-4 m³

Sabiendo el peso real de la pieza sacamos su masa   m = P/g = 19/9,8 = 1,939 kg.

Ya sabemos el volumen de la pieza y su masa, por tanto su densidad será:

d = m/V = 1,939/2,041 · 10^-4 = 9499 kg/m³

Ejercicios

1. Un objeto de 5 kg se mete en el agua y se hunde siendo su peso aparente en ella de 30 N, calcula el empuje, su volumen y su densidad.

2. Una pieza de 50 g y un volumen de 25 mL, pesa sumergida en un líquido 0,2 N, calcula la densidad del líquido.

3. Calcula el volumen que se encuentra sumergido en un barco de 10000 toneladas si la densidad del agua del mar es 1030 kg/m³

Soluciones:

1.  19 N; 1,939 · 10^-3 m³; 2579 kg/m³

2.  1183 kg/m³

3.  9709 m³

1. Una bola de acero de 5 cm de radio se sumerge en agua, calcula el empuje que sufre y la fuerza resultante. 

Solución:

El empuje viene dado por E = ρ_agua V_sumergido g,  la masa específica del agua es un valor conocido (1000 kg/m³), lo único que se debe calcular es el volumen sumergido, en este caso es el de la bola de acero. Se utiliza la fórmula del volumen de una esfera. 

Volumen: 5,236 · 10^-4 m³

E = ρ_agua·V_sumergido·g  = 1000 · 5,236 · 10^-4 · 9,8 = 5,131 N

El empuje es una fuerza dirigida hacia arriba, y el peso de la bola hacia abajo. La fuerza resultante será la resta de las dos anteriores. 

W= mg = ρvg

_ρacero = 7,9 g/cm³ = 7900 kg/m³         

m = ρ_acero · V = 7900 · 5,234 · 10^-4 = 4,135 kg

P = m · g = 4,135 · 9,8 = 40,52 N

Fuerza Resultante: P - E = 35,39 N, hacia abajo, por lo que la bola tiende a bajar y sumergirse.

2. Se desea calcular la nasa específica de una pieza metálica, para esto se pesa en el aire dando como resultado 19 N y a continuación se pesa sumergida en agua dando un valor de 17 N.

Solución:

Se sabe por enunciado que la fuerza de empuje corresponde a 2 N. De acuerdo a esto, se calcula el volumen sumergido:

E = ρ_agua·V_sumergido·g            2 = 1000 · V · 9,8            V = 2,041 · 10^-4 m³

Luego se calcula la masa:

m = P/g = 19/9,8 = 1,939 kg.

Finalmente, se calcula la masa específica ya que tenemos m y V:

 ρ= m/V = 1,939/2,041 · 10^-4 = 9499 kg/ m³

3. Un recipiente contiene una capa de agua   (ρ2 = 1,003g/cm³), sobre la que flota una capa de aceite, de masa específica ρ1 = 0,803 g/cm³ . Un objeto cilíndrico de masa específica desconocida ρ3 cuya área en  la  base  es  A  y cuya altura es h, se deja caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando la superficie de separación entre el aceite y el agua, sumergido en esta última hasta la profundidad de 2h/3. Determinar la masa específica del objeto.

Solución:

El cuerpo está sumergido parcialmente tanto en agua como en aceite. Está siendo afectado por 3 fuerzas: el peso y dos empujes (del volumen de aceite desplazado y el volumen de agua desplazado). El cuerpo está en equilibro, y ocurre que:

E1 + E2 - P = 0

E1= ρ1*g*h*A

E2= ρ2*g*h*A

Reemplazando:

 ρ1g A h + ρ2 g A h -  ρ g A h = 0

ρ1 + ρ2 = ρ

ρ = 0.933 gr/cm³

Problemas propuestos:

1. Un objeto de 5 kg se mete en el agua y se hunde siendo su peso aparente en ella de 30 N, calcula el empuje, su volumen y su masa específica.

2. Una pieza de 50 g y un volumen de 25 mL, pesa sumergida en un líquido 0,2 N, calcula la masa específica del líquido.

3. Calcula el volumen que se encuentra sumergido en un barco de 10000 toneladas si la masa específica del agua del mar es 1030 kg/m³

Soluciones:

1.  19 N; 1,939 · 10^-3 m³; 2579 kg/m³

2.  1183 kg/m³

3.  9709 m³