EJERCICIOS DEL MCUV

Vamos a usar las ecuaciones del movimiento circular uniformemente variado. Sabemos que la velocidad angular final es cero y el tiempo empleado para detenerse es 30 s: 

Expresamos la velocidad angular inicial en vueltas/s: 

Sustituimos en la ecuación para calcular la aceleración angular: 

Ahora podemos calcular el número de vueltas: 

Si el diámetro es 2 dm quiere decir que el radio es la mitad, es decir, 1 dm = 0,1 m. Para calcular las magnitudes lineales basta con tener en cuenta el valor del radio: 

Ejercicios del mcu

¿QUÉ ES LE MCUA?

El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.

En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmente en el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P₁ a P₂ sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleración tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.

POSICIÓN

El desplazamiento de la partícula es más rápido o más lento según avanza el tiempo. El ángulo recorrido (θ) en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:

  

Aplicando la fórmula del incremento de ángulo calculamos la posición en la que estará la partícula pasado un tiempo t se obtiene la fórmula de la posición:

VELOCIDAD ANGULAR

La velocidad angular aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Por lo tanto, podemos calcular la velocidad angular en el instante t como:

El sentido de la aceleración angular α puede ser contrario al de la velocidad angular ω. Si la aceleración angular es negativa, seria un caso de movimiento circular uniformemente retardado.

VELOCIDAD TANGENCIAL

La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio r. La velocidad tangencial también se incrementa linealmente mediante la siguiente fórmula:

Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa que se ha descrito en el apartado anterior.

ACELERACIÓN ANGULAR

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

ACELERACIÓN TANGENCIAL

La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

ACELERACIÓN CENTRÍPETA

La aceleración centrípeta en el MCUA se halla mediante:

Componentes intrínsecas de la aceleración

La velocidad tangencial por la trayectoria en un punto P es v. En un intervalo de tiempo pequeño Δt, la velocidad incrementa a v’ en el punto P’, después de haber descrito un ángulo Δφ.

En la figura se puede ver el incremento de la velocidad tangencial Δv descompuesta en dos componentes: la tangencial Δv_t y la normal (o centrípeta) Δv_n.

Si dividimos ambas componentes de la velocidad por Δt, tendremos las componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial a_t y la aceleración normal a_n (o centrípeta).

PERIODO

En el MCUA la velocidad angular cambia respecto al tiempo. Por tanto, el período cada vez será menor o mayor según si decrece o crece la velocidad angular.

FRECUENCIA

La frecuencia en el caso del MCUA es mayor o menor porque la velocidad angular cambia. La fórmula de la frecuencia será:

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO CIRCULAR? Y EJEMPLO

El movimiento circular es el que recorre una partícula o cuerpo por una circunferencia. Este movimiento tiene un eje y todos los puntos por los que pasa la partícula se encuentran a una distancia constante (r) del eje.

Existen diferentes variables o conceptos muy importantes para explicar el movimiento circular:

• Eje: punto fijo en el centro de la circunferencia por la que gira el cuerpo.
• Radio: distancia a la que gira el punto P sobre el eje O (en nuestro caso r).
• Posición: punto P en el que se encuentra la partícula.
• Velocidad angular: define la variación angular por unidad de tiempo (ω)
• Velocidad tangencial: es el módulo de la velocidad en cualquier punto del giro y viene definido como el recorrido, en unidades de longitud, que describe P por unidad de tiempo (v_t).
• Aceleración angular: es el incremento de velocidad angular por unidad de tiempo (α).
• Aceleración tangencial: se define como el incremento de velocidad lineal por unidad de tiempo (a_t).
• Aceleración centrípeta: componente que va dirigida hacia el centro de la circunferencia. Representa el cambio de dirección del vector velocidad (a_cen).
• Período: tiempo T que tarda la partícula en dar una vuelta al círculo.
• Frecuencia: número de vueltas f que recorre la partícula en una unidad de tiempo. Se expresa en ciclos/seg o hertzios.

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:

Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).

Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).

Velocidad angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, \omega).

Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, \alpha).

En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además las siguientes magnitudes:

Momento angular (L): es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).

Momento de inercia (I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro.

Momento de fuerza (M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

Paralelismo entre el movimiento rectilíneo y el movimiento circular Movimiento

Lineal    Angular

Posición               Arco

Velocidad           Velocidad angular

Aceleración        Aceleración angular

Masa     Momento de inercia

Fuerza  Momento de fuerza

Momento lineal               Momento angular

Movimiento  circular.jpg

A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos y un paralelismo en las magnitudes utilizadas para describirlos. Dado un eje de giro y la posición de una partícula puntual en movimiento circular o giratorio, para una variación de tiempo Δt o un instante dt.

FUERZA CENTRÍPETA

Se llama fuerza centrípeta a la fuerza, o al componente de la fuerza que actúa sobre un objeto en movimiento sobre una trayectoria curvilínea, y que está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

DESPLAZAMIENTO ANGULAR

Arco angular o desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes y representado con la letras griegas \varphi\, (phi) o \theta\, (theta). Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular (\varphi_p ó \theta_p) en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes. Así el arco angular o desplazamiento angular se determinará por la variación de la posición angular entre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

\Delta\varphi = \varphi_f - \varphi_o \qquad \mbox{ó} \qquad \Delta\theta = \theta_f - \theta_o

Siendo \Delta\varphi ó \Delta\theta el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes.

Si se le llama e, al espacio recorrido a lo largo de la trayectoria curvilínea de la circunferencia de radio R, se tiene que es el producto del radio de la trayectoria circular por la variación de la posición angular (desplazamiento angular):

   e = R\Delta\varphi = R(\varphi_f - \varphi_o) \qquad \mbox{ó} \qquad s = R\Delta\theta = R(\theta_f - \theta_o)

En ocasiones se denomina s, al espacio recorrido (del inglés "space"). Nótese que al multiplicar el radio por el ángulo en radianes, al ser estos últimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio.

Velocidad angular y velocidad tangencial[editar]

Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra \omega\, (omega minúscula) y viene definida como:

\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\varphi_f - \varphi_o}{t_f - t_o} \qquad \mbox{ ó } \qquad \omega = \frac{d \varphi}{d t}

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).

Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si  v_t es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

 v_t = \omega\,R

Aceleración angular y tangencial[editar]

La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra: \alpha\, y se la calcula:

 \alpha = \frac{d \omega }{d t}

Si at es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

 a_t = R \, \alpha \;

Período y frecuencia[editar]

El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:

T=\frac{2\pi}{\omega}

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo. Se mide en hercios o s-1

f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}

 Una bola de 0,5 kg. De masa está unida al extremo de una cuerda cuya longitud es 1,5 metros. La figura 6.2 muestra como gira la bola en un círculo horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 50 Newton,¿ Cuál es la velocidad máxima que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda se rompa?

Solución Como en este caso la fuerza central es la fuerza T ejercida por la cuerda sobre la bola, de la ecuación 6.1 se obtiene

 Despejando v

v = 12,24 m/seg.

Ejercicio Calcule la tensión en la cuerda si la rapidez de la bola es 5 m/seg.

EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROYECTILES

a) Un chorro de agua sale horizontalmente de una manguera con velocidad de 12m/s.

........... ....-----→ 12 m/s

---------- ▀▀▀ -.. ●

.................│ .........●

.................│ ............ .●

............ ....h............ ... ...●.. t = 0,5 s

.................│........... .. . ......●

.................│ ......... ..... . . .....●

.................│............. ..............●

.................│............. ........ .......●

..________.│_________________.●_____

........ ........│←----------- e ----------→│

b) Este es un Movimiento Compuesto, llamado así por ser la composición de dos movimientos simples: Un MRUV Vertical y un MRU Horizontal.

... Por el Principio de Independencia de Movimientos, cada uno de ellos se puede estudiar por separado......

... Empezaremos con el Mov. Vertical para calcular la altura de caída........

c) VERTICALMENTE (MRUV)

DATOS

Velocidad inicial......... .... Vo = 0

Altura de caída.......... ...... h = ?

Tiempo de caída..... ...... ... t = 0,5 s

Aceleración actuante.... ... g = 9,8 m /s²

Aplicaremos:

............ h = Vo . t + 1/2 g . t²

Reemplazando valores :

............ h = (0) + 1/2 (9,8) (0,5)²

............ h = (4,9) (0,25)

............ h = 1,225 metros........ ....... ......... RESPUESTA

... Continuaremos con el Movimiento Horizontal para calcular su máximo alcance...

d) HORIZONTALMENTE (MRU)

DATOS

Velocidad horizontal......... V = 12 m /s

Tiempo empleado....... ..... t = 0,5 s

Alcance horizontal.......... e =?

Aplicaremos:

............ e = V x t

Reemplazando valores:

............ e = 12 x 0,5

............ e = 6 metros................. ..... ........ .RESPUESTA

PROBLEMA 3

a) Una pelota de béisbol sale con una velocidad de 35 m/s inclinada 32º con la horizontal

... Vamos a descomponer la velocidad inclinada en sus dos componentes rectangulares:

.........Vy.... ........._ 35 m /s

..........↑ ........ .... ∕│

..........│... ....... ∕

..........│... .... ∕

..........│..... ∕

..........│.. ∕

......... │ ∕ ..32º

..........●--------------→ Vx

* Componente Vertical... .... Vy = 35 sen 32º = 35 ( 0,530 ) = 18,55 m /s

* Componente Horizontal..... Vx = 35 cos 32º = 35 ( 0,848 ) = 29,68 m /s

b) Vamos al estudio del Movimiento Vertical para calcular la altura máxima alcanzada:

VERTICALMENTE (MRUV)

DATOS

Velocidad inicial............ ... Vo = 18,55 m /s ↑

Velocidad final... ....... ....... Vf = 0

Aceleración actuante.......... g = -- 9,8 m /s² ↓

Altura máxima alcanzada.... h =?

Aplicaremos:

.......... (Vf)² -- (Vo)² = 2 . g . h

Reemplazando valores:

....... (0) -- (18,55)² = 2 (-- 9,8) (h)

.............. -- 344,1025 = -- 19,6 h

.............. -- 344,1025

.............. ---------------- = h

..................-- 19,6

................... ..........h = 17,56 metros................... RESPUESTA

c) Vamos a calcular qué tiempo tarda en alcanzar una altura de 8 metros.........

VERTICALMENTE (MRUV)

DATOS

Velocidad inicial............ ... Vo = 18,55 m /s ↑

Altura alcanzada....... ........h = 8 metros

Aceleración actuante.......... g = -- 9,8 m /s² ↓

Tiempo empleado..... .... ..... t =?

Antes de calcular el tiempo, y con la finalidad de evitar una ecuación de segundo grado, vamos a calcular la velocidad final a los 8 metros de altura..........

Aplicaremos:

............ ............ (Vf)² -- ( Vo )² = 2 . g . h

Reemplazando valores:

...... ( Vf )² -- ( 18,55 )² = 2 ( -- 9,8 ) ( 8 )

.. ( Vf )² -- -- 344,1025 = -- 156,8

............... ......... ( Vf )² = 187,3025

................ ...... ...... Vf = 13,68 m /s

... El tiempo a los 8 metros lo calculamos aplicando:

............. ....... ....... Vf -- Vo

.......................g = -------------

....................... .......... t

..................... ....... 13,68 -- 18,55

............. ...-- 9,8 = ---------------------

....................... ..... ......... t

............ ...-- 9,8 t = -- 4,87

........................t = 0,50 segundos.............. RESPUESTA

Uno de ellos es el movimiento constante de uno horizontal y otro es la caída libre, bajo el efecto de la gravedad en la vertical. Tratamos de explicar el movimiento de proyectiles con las palabras. Ahora es el momento para dar las ecuaciones de movimiento en dos títulos.

1. Movimiento vertical:

En vertical, nos dijo que la gravedad actúa sobre nuestros objetos y darle "-9,8 m / s ²" aceleración negativa. Esto significa que, nuestra velocidad disminuye -9,8 m / s ² en cada segundo. Nos encontramos con la velocidad del objeto en caída libre por la ecuación V = gt Si tenemos la velocidad inicial entonces, la ecuación se convierte;

V = Vit + gt donde la aceleración es -9,8 m / s ²

La distancia de caída libre se calcula mediante la ecuación;

Como en el caso de la velocidad de nuestra distancia se calcula teniendo en cuenta la velocidad inicial del objeto por la fórmula;

Ponemos signo "-" porque la dirección de la g es a la baja.

2. El movimiento horizontal:

Tenemos constante movimiento en horizontal porque no hay una fuerza que actúa sobre nuestro objeto en dirección horizontal. Por lo tanto, el componente X de la velocidad es constante y la aceleración en la dirección X es cero. La ecuación que se utiliza para calcular la distancia y la velocidad es la siguiente.

Usted puede encontrar la distancia recorrida, el tiempo transcurrido a partir de esta ecuación.

Ahora voy a resolver algunos ejemplos relacionados con el tipo de cada una de movimiento de un proyectil.  

¿QUÉ ES UN PROYECTIL? Y SUS FÓRMULAS

Un proyectil es cualquier objeto que es lanzado.  Este puede ser un balón de baloncesto, de fútbol una flecha o una bala de cañón.  Una vez el proyectil es lanzado la única fuerza que actúa es la fuera gravitacional debido a la acción de la aceleración gravitacional de la Tierra.  El movimiento de proyectil sigue una trayectoria que es en forma de una parábola. 

El movimiento de un proyectil es un ejemplo clásico del movimiento en dos dimensiones con aceleración constante. Un proyectil es cualquier cuerpo que se lanza o proyecta por medio de alguna fuerza y continúa en movimiento por inercia propia. Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la aceleración de la gravedad. La gravedad actúa para influenciar el movimiento vertical del proyectil. El movimiento horizontal del proyectil es el resultado de la tendencia de cualquier objeto a permanecer en movimiento a velocidad constante.   

                El término proyectil se aplica por ejemplo a una bala disparada por un arma de fuego, a un cohete después de consumir su combustible, a un objeto lanzado desde un avión o en muchas actividades deportivas (golf, tenis, fútbol, béisbol, atletismo etc.). Los fuegos artificiales y las fuentes del agua  son ejemplos del movimiento de proyectiles. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria. El estudio del movimiento de proyectiles es complejo debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la Tierra, variación en la aceleración de la gravedad.

La ciencia encargada de hacer el estudio del movimiento de los proyectiles se llama balística.

Experiencia de Galileo Galilei

El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así y experimentaba con tiros parabólicos (Por ejemplo, recuerde las destrezas de David frente a Goliat). Galileo fue el primero que dio una descripción moderna y cualitativa del movimiento de proyectiles dando las bases para su conocimiento y demostró que la trayectoria de cualquier proyectil es una parábola.

                Galileo realizó un experimento con dos objetos: impulsó uno horizontalmente desde una mesa y dejó caer otro cuerpo desde el borde verticalmente. Al dejar caer un cuerpo A verticalmente = 0 y lanzando horizontalmente en el mismo instante un objeto B con una velocidad horizontal ( ), Galileo Galilei comprobó que ambos caen al mismo tiempo; es decir tardan lo mismo en llegar al suelo.

El objeto A, en Caída libre tiene solamente la velocidad vertical en un instante t y posee una aceleración que es la de gravedad, luego está dotado de un movimiento uniformemente acelerado. El objeto B está animado en ese instante t de dos movimientos y como consecuencia de dos velocidades perpendiculares: la velocidad vertical de caída y la velocidad horizontal debido al impulso de lanzamiento.

Como los objetos A y B tardan lo mismo en caer, Galileo concluyó que la velocidad horizontal debido al movimiento uniforme, ya que el cuerpo no posee aceleración, no influye en el movimiento de caída del cuerpo B , o sea, que las velocidades  y actúan simultáneamente sobre B , pero en forma independiente la una de otra. Quiere decir que el cuerpo B se mueve como consecuencia de la acción de dos movimientos: uno uniformemente acelerado (vertical), con una aceleración igual a la de gravedad () y otro uniforme (horizontal), con aceleración igual a cero.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

x=v0·cosθ·t

y=v0·senθ·t-gt2/2

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)

 

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO PARABÓLICO?

El movimiento parabólico es el movimiento de una partícula o cuerpo rígido describiendo su trayectoria una parábola. Por ejemplo, el balón de fútbol cuando es chutado por un jugador y cae al suelo es un movimiento parabólico.

El movimiento parabólico se puede analizar como la unión de dos movimientos. Por un lado, la trayectoria en la proyección del eje de las x (el eje que va paralelo al suelo) describirá unmovimiento rectilíneo uniforme. Por otro lado, la trayectoria de la partícula al elevarse o caer verticalmente (en proyección sobre el eje de las y) describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, donde la aceleración es la gravedad.

                                    

EJERCICIOS DE PROYECTILES

1- Una pelota es lanzada desde un edificio con una Vo=32 m/s y tarda 1 minuto con 15 seg

en llegar a la superficie de la tierra.

a-¿Cuál es la velocidad vertical en 7seg?

b-¿Cuál es la distancia entre el edificio y la pelota en 29 seg?

c-¿Cuál es el alcance máximo horizontal?

d-¿Cuál es el alcance máximo vertical?

Respuesta

Vo=32 m/s tv=75 seg

a- Vy = g t

. Vy = 1m/seg2 * 7seg

Vy = 7m/seg

b- X = V0 t

x= 32 m/s * 29s

x= 928 m

R: es 928 m la distancia entre edificio y la pelota

c- R = V0* tv

R =32m/s * 75s

R = 2400m

R: el alcance max. es 2400 metros

d- y = (g/ (2V02))*x2

y = (1(m/s)/(2*(32m/s)2))*(2400m)2

y = 2812.5 m

R: el alcance max. es 2812.5

2) Un joven parado en un plano horizontal a 3 [m] de una pared, chutea una pelota, con una velocidad de 10 [m/s], de tal modo que su dirección forma, con la horizontal, un ángulo de 45°.

a- ¿Cuál es la Velocidad horizontal y vertical?

b- ¿A qué altura llego la pelota en el intante que choca contra la pared?:

c- ¿Cuál es la altura máxima?

d- ¿Cuál es el alcance máximo?

Respuesta:

a- Vx = 10*cos(45) = 7.07 m/s

Vy = 10*sen(45) = 7.07 m/s

b- X = (Vo cost y = (Vo sen) t-(g t2)/2

3 = 7.07*T Y = 7.07*0.4 - 1*(0.4)2 / 2

T = 3m/7.07m/s Y= 2.75m

T = 0.4 segundos

R: la altura que tiene es 2.75 m

c- tmax= 7.07seg

h=V0y tmax– (g*tmax2)/2

h = 7.07*7.07 - 1*(7.07)2/ 2

h = 24.99m

R: la altura máxima es 24.99

d- tv = 2 * 7.07seg

tv = 14.14 seg

R = VX* tv

R = 7.07m/s * 14.14 s

R = 99.97m

R: el alcance máximo es 99.97m